lunes, 15 de agosto de 2011

EJERCICIOS RESUELTOS "CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE"

CIRCUNFERENCIA
EJERCICIO 1
Encontremos la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y radio 2.
SOLUCIÓN

Por aplicación de la relación que define la circunferencia, r=2, a=4 y b=3, entonces:
[(x, y) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 ]
= [(x, y) :   (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4]
Efectuando operaciones:
= [(x, y) :   x2 – 8x + 16 +y2 -6y + 9 -4 = 0]
Reuniendo términos semejantes
= [(x, y) :   x2 – 8x + y2 -6y + 21 = 0]
Esta es la ecuación pedida.

EJERCICIO 2
Encontremos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 1.
SOLUCIÓN

En este caso, el centro es C (0,0) por ser el origen de coordenadas y r = 1; luego, por aplicación de la ecuación de la circunferencia:
[(x, y) : (x – 0)2 + (y – 0)2 = 12 ]
= [(x, y) :   x2 + y2 = 1]
Es la ecuación pedida.
Si nos dan la ecuación de una circunferencia, podemos encontrar su centro y su radio llevando la ecuación dada a la forma:
[(x, y) : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ]
Completando cuadrados, si es necesario.
EJERCICIO 3
Encontremos el centro y el radio de la circunferencia definida por:
= [(x, y) :   x2 + y2 – 2x – 2y = 2]
SOLUCIÓN

Es necesario transformar la ecuación dada a la forma de la ecuación de la circunferencia.
Tomemos la relación que determina el conjunto:
x2 + y2 – 2x – 2y = 2
Agrupando se tiene:    (x2 – 2x) + (y2  – 2y) = 2
Completamos un cuadrado en cada paréntesis así:
(x2 – 2x + 1) + (y2  – 2y + 1) – 2  = 2
(Hemos sumado y restado 2, al primer miembro.)
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 2 + 2
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 22
Entonces:
= [(x, y) :   x2 + y2 – 2x – 2y = 2] =
= [(x, y) :   (x – 1)2 + (y – 1)2 = 22]
Comparando esta última expresión con la ecuación de la circunferencia, se tiene su centro (1, 1) y radio r=2.
ELIPSE
EJEMPLO 1
Encontremos la ecuación de la elipse que tiene sus focos en F1 (-2, 0) y F2 (2, 0) y cuyo semieje menor tiene una longitud de dos unidades de longitud.
SOLUCIÓN

b= 2, c= 2
Luego: a2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8
Aplicando la ecuación se tiene:
[ (x , y): x2/8 + y2/4 = 1]
Que es la ecuación pedida.

EJEMPLO 2
Dada la ecuación de la elipse [ (x, y): 4x2 + 9y2 = 36] encontremos el valor de los semiejes y la localización de los focos.
SOLUCIÓN

Trabajamos únicamente con la ecuación que determina el conjunto.
Dividiendo ambos miembros de la ecuación dada por 36 tenemos:
X2/9 + y2/4 = 1
Aplicando la ecuación se encuentra el valor de c,
a2 = b2 + c2
9 = 4 + c2
c = +- 5
Los focos están situados en F1 (- 5, 0) y F2 ( 5, 0).

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