viernes, 9 de septiembre de 2011

PROPIEDADES BASICAS DE LA CIRCUNFERENCIA


POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.CIRCUNFERENCIA CONCENTRICAS
02.CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES
03.CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES


04. CIRCUNFERENCIA TANGENTES INTERIORES
05.CIRCUNFERENCIAS SECANTES

06.CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES
07.CIRCUNFERENCIAS INTERIORES

PROPIEDADES DE LOS TANGENTES
01.
02. TANGENTES COMUNES EXTERIORES

03. TANGENTES COMUNES INTERIORES


TEOREMA DE PONCELET
TEOREMA DE PILOT
ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.MEDIDA DEL ANGULO CENTRAL
02.MEDIDA DEL ANGULO INTERNO
03. MEDIDA DEL ANGULO INSCRITO
04. MEDIDA DEL ANGULO SEMI-INSCRITO

05. MEDIDA DEL ANGULO EXINSCRITO

ANGULOS EXTERIORES
01.MEDIDA DEL ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS TANGENTES
02. ANGULO FORMADO POR DOS RECTAS SECANTES
03.MEDIDA DEL ANGULO FORMADO POR UNA RECTA TANGENTE Y OTRA SECANTE





jueves, 1 de septiembre de 2011

PARABOLA E HIPERBOLA

EJERCICIOS PROPUESTOS DE PARABOLA


1.      Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q). 
2.      Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: 
                              y – q = -q/2c (x-p)        3. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: 
a. y = x2 – 2x – 8 
b. y = x2 – 6x + 9 
c. y = 5 – 4x - x2 
d. y = 9 – x2 

        4. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 
a. F(3, 0), V(2, 0) 
b. F(0, 0), V(-1, 0)

5. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas.   Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. 
a. y2 + 4x – 4y – 20 = 0 
b. y2 – 8x + 4y + 12 = 0 
c. y2 + 4x + 4y = 0 
d. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0 

EJERCICIOS PROPUESTOS DE HIPERBOLA

1. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas. 
a. 16x2 – 25y2 = 100 
b. 9x2 – 4y2 = 36 
c. 4x2 – y2 = 16 
d. x2 – 9y2 = 18 

2. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas. 
Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3). 
Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5). 
V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6. 

3.      En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente. 

                  (x-3)2 / 4 – (y+1)2  / 9 = 1
                  (x+5)2 - 4 (y-4)2 = 16
                   9(x-3)2 – (y+2)2  = 18

 
4.       Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma:
Ax2 + Cy2 + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos,
es una hipérbola con centro en (0, 0). 

5.       Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma
          Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos: 
          es una hipérbola si: 

               D2 / 4A + E2 / 4C – F ‡ 0