EJERCICIO RESUELTO "ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA"

Hallemos la ecuación general de la recta que pasa por el punto por donde la recta 3x + 2y – 6 = 0 corta al eje X y por el punto de intersección de la recta –x –y -1 = 0 con el eje Y.

SOLUCIÓN

Para y=0 en 3x + 2y – 6 = 0, encontramos el intercepto con el eje X:

3x + 2*0 -6 = 0 entonces x = 2

Por tanto, 3x + 2y – 6 = 0 corta al eje X en (2, 0).

En forma similar, para x = 0 en  –x –y -1 = 0, obtenemos que el punto de intersección de la recta   

–x –y -1 = 0 con el eje Y es (0, -1).

Reemplazando a=2 y b= -1 en la ecuación x/a + y/b = 1, obtenemos:

x/2 – y/1 = 1

y la ecuación general de la recta pedida es :

x - 2y – 2 = 0

EJERCICIO RESUELTO "ECUACIÓN DE LA RECTA"

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 3) y tiene pendiente -3

SOLUCIÓN

Los datos del problema nos indican que m = -3 y P (x₁ , y₁) = P₁ (-2, 3); reemplazando tenemos:

y - 3 = -3 (x - (-2))

Luego, y + 3x + 3 = 0, es la ecuación de la recta pedida

EJERCICIO RESUELTO RECTAS PERPENDICULARES

Una recta L₁ tiene una inclinación β₁ = 120º. Hallemos la pendiente de una recta L₂ perpendicular a L₁ y su inclinación.

SOLUCIÓN

Sean      m₁ = pendiente de la recta L₁

                m₂ = pendiente de la recta L₂

                m₁ = tan β₁ = tan 120º = -√3

Como queremos que L₁ I L₂, entonces se debe cumplir que m₁ * m₂ = -1

Luego,  m₂ = -1/m₁ =  -1/-√3 =  √3/3

                m₂  = √3/3 es la pendiente de la recta L₂

Si m₂ = tan  β₂ = √3/3, entonces β₂ = arc tan √3/3 = 30º

EJERCICIO RESUELTO RECTAS PARALELAS

Determinemos si la recta que pasa por los puntos A (0, 3) y B (-1/2, -1) y la recta que pasa por los puntos  M (1, 2) y N (0, -6) son paralelas.


SOLUCIÓN

Sean m₁ la pendiente de la recta determinada por los puntos A y B y m₂ la pendiente de la recta por N y M, entonces:

m₁ = (-1-3)/(-1/2 -0) = 8

m₂ = (-6-2)/(0-1) = 8

como m₁ = m₂ = 8, entonces las rectas son paralelas

EJERCICIOS RESUELTOS "DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS"

EJEMPLO 1

Encontremos el perímetro de un triángulo cuyos vértices son los puntos a(1, 0), B(1, -3) y C(3, 4).

SOLUCIÓN

Perímetro 0 d(A, C) + d (C, B) + d(A, B)
Aplicando la fórmula de distancia separadamente tenemos:

d(A, C) =  √((3-1)² + (4-0)²)  =  √(4+16)  = √20

d(C, B) =  √((1-3)² + (-3-4-)²)  =  √(4+49)  = √53

d(B, A) =  √((1-1)² + (0-(-3))²)  =  3

Sumando estas relaciones:

Perímetro: d(A, C)+ d(C, B) +d(B, A)= √20 + √53 + 3.

EJEMPLO 2

Encontremos la distancia entre los puntos P(-2, 4) y Q(4, 3)

SOLUCIÓN

Por aplicación de la fórmula de la distancia con

X₂ = 4, y₂ = 3, x₁ = -2 y y₁=4, se tiene:

d(P, Q) =  √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)  

d(P, Q) =  √((4-(-2))² + (3-4-)²)  

d(P, Q) =  √((4+2)² + (3-4)²)  =  √37

La distancia pedida es √37 unidades de longitud

EJERCICIOS PROPUESTOS LINEA RECTA

1. Averiguar si el triángulo que determinan los puntos dados es escaleno, isóceles o equilátero.

a. (-2, 1) , (4, 1) , (1, 4)

b. (6, 2) , (2, 6) , (-3, -3)

c. (-2, 5) , (0, 0) , (6, 1)

2. Los vértices de un cuadrilatero son los puntos A(0, 0), B(1, 1), C(4, 7) y D(5, 0). Calcular:

a. Las longitudes de los lados
b. Las longitudes de las diagonales
c. El perímetro del cuadrilátero
d. El área del cuadrilátero

3. Hallar el valor de k para que la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (5,0), y la recta que pasa por los puntos (k, -2) y 81, 1) sean:

a. paralelas
b. perpendiculares

4. Demostrar que si las rectas A1x + B1y + C1 = 0  y A2x + B2y + C2 =0 son parelas, entonces
A1 B2 - A2 B1=0

5. Hallar la ecuación de la recta de pendiente -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas:
2X - y + 1 = 0 y 3x + 2y -3 = 0.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO CARTESIANO

Para hallar la distancia entre los puntos en el plano se resuelve la raíz cuadrada de la sustracción del segundo punto de x y el primer punto de x al cuadrado, y se adiciona el cuadrado de la sustracción del segundo punto en y y el primer punto en el mismo eje.