EJERCICIOS RESUELTOS "CIRCUNFERENCIA Y ELIPSE"

CIRCUNFERENCIA

EJERCICIO 1

Encontremos la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y radio 2.

SOLUCIÓN

Por aplicación de la relación que define la circunferencia, r=2, a=4 y b=3, entonces:

[(x, y) : (x – 4)² + (y – 3)² = 2² ]

= [(x, y) :   (x – 4)² + (y – 3)² = 4]

Efectuando operaciones:

= [(x, y) :   x² – 8x + 16 +y² -6y + 9 -4 = 0]

Reuniendo términos semejantes

= [(x, y) :   x² – 8x + y² -6y + 21 = 0]

Esta es la ecuación pedida.

EJERCICIO 2

Encontremos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 1.

SOLUCIÓN

En este caso, el centro es C (0,0) por ser el origen de coordenadas y r = 1; luego, por aplicación de la ecuación de la circunferencia:

[(x, y) : (x – 0)² + (y – 0)² = 1² ]

= [(x, y) :   x² + y² = 1]

Es la ecuación pedida.

Si nos dan la ecuación de una circunferencia, podemos encontrar su centro y su radio llevando la ecuación dada a la forma:

[(x, y) : (x – a)² + (y – b)² = r² ]

Completando cuadrados, si es necesario.

EJERCICIO 3

Encontremos el centro y el radio de la circunferencia definida por:

= [(x, y) :   x² + y² – 2x – 2y = 2]

SOLUCIÓN

Es necesario transformar la ecuación dada a la forma de la ecuación de la circunferencia.

Tomemos la relación que determina el conjunto:

x² + y² – 2x – 2y = 2

Agrupando se tiene:    (x² – 2x) + (y²  – 2y) = 2

Completamos un cuadrado en cada paréntesis así:

(x² – 2x + 1) + (y²  – 2y + 1) – 2  = 2

(Hemos sumado y restado 2, al primer miembro.)

(x – 1)² + (y – 1)² = 2 + 2

(x – 1)² + (y – 1)² = 2²

Entonces:

= [(x, y) :   x² + y² – 2x – 2y = 2] =

= [(x, y) :   (x – 1)² + (y – 1)² = 2²]

Comparando esta última expresión con la ecuación de la circunferencia, se tiene su centro (1, 1) y radio r=2.

ELIPSE

EJEMPLO 1

Encontremos la ecuación de la elipse que tiene sus focos en F₁ (-2, 0) y F₂ (2, 0) y cuyo semieje menor tiene una longitud de dos unidades de longitud.

SOLUCIÓN

b= 2, c= 2

Luego: a² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8

Aplicando la ecuación se tiene:

[ (x , y): x²/8 + y²/4 = 1]

Que es la ecuación pedida.

EJEMPLO 2

Dada la ecuación de la elipse [ (x, y): 4x² + 9y² = 36] encontremos el valor de los semiejes y la localización de los focos.

SOLUCIÓN

Trabajamos únicamente con la ecuación que determina el conjunto.

Dividiendo ambos miembros de la ecuación dada por 36 tenemos:

X²/9 + y²/4 = 1

Aplicando la ecuación se encuentra el valor de c,

a² = b² + c²

9 = 4 + c²

c = +- √5

Los focos están situados en F₁ (- √5, 0) y F₂ ( √5, 0).