EJERCICIOS PROPUESTOS DE PARABOLA
1. Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q).
2. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por:
y – q = -q/2c (x-p) 3. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas:
a. y = x2 – 2x – 8
b. y = x2 – 6x + 9
c. y = 5 – 4x - x2
d. y = 9 – x2
4. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas:
a. F(3, 0), V(2, 0)
b. F(0, 0), V(-1, 0)
5. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice.
a. y2 + 4x – 4y – 20 = 0
b. y2 – 8x + 4y + 12 = 0
c. y2 + 4x + 4y = 0
d. 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0
EJERCICIOS PROPUESTOS DE HIPERBOLA
1. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hipérboles, se pide dibujarlas, determinando además los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas.
a. 16x2 – 25y2 = 100
b. 9x2 – 4y2 = 36
c. 4x2 – y2 = 16
d. x2 – 9y2 = 18
2. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica y las asíntotas.
Centro en (0, 0); vértice en (3, 0); foco en (5, 0).
Centro en (0, 0); vértice en (-1, 0); foco en (-3, 0).
Centro en (0, 0); vértice en (0, -1); foco en (0, -3).
Centro en (0, 0); vértice en (0, 3); foco en (0, 5).
V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6.
3. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. Trace la gráfica correspondiente.
(x-3)2 / 4 – (y+1)2 / 9 = 1
(x+5)2 - 4 (y-4)2 = 16
9(x-3)2 – (y+2)2 = 18
4. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma:
Ax2 + Cy2 + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son de signos opuestos,
es una hipérbola con centro en (0, 0).
5. Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0; A ¹ 0, C ¹ 0, donde A y C son de signos opuestos:
es una hipérbola si:
D2 / 4A + E2 / 4C – F ‡ 0
